Zasada maksimum dla równania Laplace’a i równania ciepła
Twierdzenie 1: Zasada maksimum dla równania Laplace'a.
ZAŁOŻENIA:
Niech \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \) będzie otwartym ograniczonym podzbiorem przestrzeni \( \hskip 0.3pc\mathbb R^n\hskip 0.3pc \). Zakładamy, że funkcja \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest ciągła w \( \hskip 0.3pc \overline \Omega, \hskip 0.3pc \) posiada pochodne cząstkowe \( \hskip 0.3pc 2\hskip 0.3pc \)-go rzędu w \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \) i ponadto
gdzie \( \hskip 0.3pc f:\Omega \to \mathbb R_+,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc g: \partial \Omega \to \mathbb R\hskip 0.3pc \) są danymi funkcjami ciągłymi, a \( \hskip 0.3pc \partial \Omega \hskip 0.3pc \) oznacza brzeg obszaru \( \hskip 0.3pc \Omega. \hskip 0.3pc \)
TEZA:
Funkcja \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) osiąga maksimum na \( \hskip 0.3pc \partial \Omega \hskip 0.3pc \)DOWÓD:
Załóżmy najpierw, że \( \hskip 0.3pc f>0\hskip 0.3pc \) w zbiorze \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \). Ponieważ \( \hskip 0.3pc \overline {\Omega} \hskip 0.3pc \) jest zbiorem zwartym, \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jako funkcja ciągła osiąga w tym zbiorze maksimum. Przypuśćmy, że maksimum to jest osiągnięte w punkcie \( \hskip 0.3pc x^0 \in \Omega. \hskip 0.3pc \) Oczywiście
W szczególności wynika stąd, że \( \hskip 0.3pc \Delta u(x^0) \leq 0\hskip 0.3pc \), co jest sprzeczne z założeniem, że \( \hskip 0.3pc f(x^0) >0\hskip 0.3pc \). Zatem \( \hskip 0.3pc x^0\in \partial \Omega \hskip 0.3pc \).
Przypuśćmy teraz, że \( \hskip 0.3pc f\geq 0\hskip 0.3pc \). Dla \( \hskip 0.3pc k \in\mathbb N\hskip 0.3pc \) rozważmy funkcję \( \hskip 0.3pc v_k:\overline {\Omega} \to \mathbb R\hskip 0.3pc \)
daną wzorem
Oczywiście \( \hskip 0.3pc \displaystyle\lim_{k\to \infty}v_k = u\hskip 0.3pc \) w zbiorze \( \hskip 0.3pc \overline {\Omega }\hskip 0.3pc \) oraz
Na mocy poprzedniej obserwacji \( \hskip 0.3pc v_k\hskip 0.3pc \) osiąga maksimum na brzegu obszaru \( \hskip 0.3pc \partial \Omega \hskip 0.3pc \), powiedzmy w punkcie \( \hskip 0.3pc x^k \hskip 0.3pc \). Ponieważ \( \hskip 0.3pc \partial \Omega \hskip 0.3pc \) jest zbiorem zwartym, istnieje podciąg \( \hskip 0.3pc \{x^{k_i}\}_{i\geq 1}\hskip 0.3pc \) ciągu \( \hskip 0.3pc \{x^{k}\} \hskip 0.3pc \), zbieżny do pewnego punktu \( \hskip 0.3pc \tilde x\in \partial \Omega \hskip 0.3pc \). Niech \( \hskip 0.3pc x \in\overline {\Omega }\hskip 0.3pc \). Oczywiście
Przechodząc z \( \hskip 0.3pc i \to \infty\hskip 0.3pc \) otrzymamy \( \hskip 0.3pc u(x) \leq u(\tilde x).\hskip 0.3pc \) Ponieważ \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) jest dowolnym punktem w \( \hskip 0.3pc \overline {\Omega }\hskip 0.3pc \), teza twierdzenia, wynika natychmiast.
Istotnie, wystarczy zastosować zasadę maksimum do funkcji harmonicznej \( \hskip 0.3pc u=u_2-u_1\hskip 0.3pc \).
gdzie \( \hskip 0.3pc u=u(x,y),\hskip 0.3pc (x,y) \) należy do koła jednostkowego.
Przyjmujemy współrzędne biegunowe \( \hskip 0.3pc x=\rho \cos \theta,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc y=\rho \sin \theta,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc 0\leq \rho \leq 1,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \,0\leq \theta <2\pi.\hskip 0.3pc \)
Zakładamy, że rozwiązanie spełnia warunek brzegowy
dla \( \hskip 0.3pc 0\leq \theta <2\pi.\hskip 0.3pc \)
Zgodnie z zasadą maksimum rozwiązanie naszego problemu przyjmuje wartość maksymalną na brzegu okręgu. Wynika stąd, że \( \hskip 0.3pc -1\leq u(x,y) \leq 1\hskip 0.3pc \).
Istotnie, funkcja \( \hskip 0.3pc u = e^y \sin x\hskip 0.3pc \) jest harmoniczna w obszarze \( \hskip 0.3pc \Omega = \{(x,y): 0<x<\pi,\hskip 0.3pc y>0\}\hskip 0.3pc \), ale w oczywisty sposób nie osiąga maksimum na brzegu tego obszaru.
Twierdzenie 2: Zasada maksimum dla równania ciepła.
ZAŁOŻENIA:
Niech \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \) będzie otwartym ograniczonym podzbiorem przestrzeni \( \hskip 0.3pc\mathbb R^n\times \mathbb R\hskip 0.3pc \). Załóżmy, że funkcja \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest ciągła w \( \hskip 0.3pc \overline {\Omega },\hskip 0.3pc \) posiada pochodne cząstkowe \( \hskip 0.3pc 2 \)-go rzędu w \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \) i ponadto
TEZA:
Wówczas \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) osiaga swoje ekstrema na brzegu obszaru \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \).DOWÓD:
Ograniczymy się do rozpatrzenia tylko przypadku maksimum, bowiem dla przypadku minimum argument jest analogiczny. Niech \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) będzie rozwiązaniem równania ( 1 ). Połóżmy
Przypuśćmy, że \( \hskip 0.3pc m<M\hskip 0.3pc \). Niech \( \hskip 0.3pc (x^o,t_0)\in \overline {\Omega }\hskip 0.3pc \) będzie punktem takim, że \( \hskip 0.3pc M=u(x^o,t_0)\hskip 0.3pc \). Połóżmy
gdzie \( \hskip 0.3pc d\hskip 0.3pc \) jest średnicą zbioru \( \hskip 0.3pc \Omega, \hskip 0.3pc \) \( x=(x_1,\ldots ,x_n).\hskip 0.3pc \) Ponieważ \( \hskip 0.3pc \displaystyle\sum_{i=1}^n\big(x_i-x^o_i)^2/n\leq d^2\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc m<M\hskip 0.3pc \), mamy
Ponieważ \( \hskip 0.3pc v(x^o,t_0)= u(x^o,t_0)=M\hskip 0.3pc \), wynika stąd, że funkcja \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) przyjmuje maksimum w pewnym punkcie \( \hskip 0.3pc (x^*,t_*)\in \Omega \hskip 0.3pc \).
Oczywiście \( \hskip 0.3pc v_{x_ix_i}(x^*,t_*)\leq 0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc i=1, \dots ,n\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc v_t(x^*,t_*)= 0\hskip 0.3pc \). W konsekwencji
Z drugiej strony uwzględniając wzór ( 2 ) oraz równość \( \hskip 0.3pc v_t(x^*,t^*)=u_t(x^*,t^*)\hskip 0.3pc \) a następnie ( 1 ), otrzymamy
Stąd i ( 3 ) wynika, że \( \hskip 0.3pc M-m\leq 0\hskip 0.3pc \). W konsekwencji \( \hskip 0.3pc m=M\hskip 0.3pc \), co należało dowieść.